Wegen Deiner Falllage:

Rechtsfähige Leistungsbescheide werden generell in das Ausland NUR per eindeutigen Empfangsnachweis gesendet von Deutschen Behörden, insbesondere in die Schweiz, weil es gerade wegen der freiheitlich demokratischen Rechtslage und Schutz der eigenen Bürger sehr schwer ist, entsprechende Klagen oder Forderungen dort durchzusetzen im Zuge der länderübergreifenden Amtshilfe.

Generell werden Bescheide, wenn sie von Dir Bares haben wollen oder mit einer Kostenrechnung versehen sind immer mit Fristsetzung, sowie auch Rechtsbehelfsbelehrung  versehen, dass heißt dann Du hast eine gewisse Zeit Widerspruch einzulegen, oder entsprechende Rechtsmittel anzuwenden!

Wenn Du die Zeit hast verstreichen lassen ohne zu reagieren, dann wird der Bescheid rechtskräftig, dass erschwert dann dessen Anfechtung enorm. Die Aufhebung/Abschaffung eines Bescheides ist nur über das Verwaltungsrecht möglich.

Da DU auch schon geantwortet hast, ist dies auch als Nachweis des Zugangs der Post an dich zu werten und wird so auch ausgelegt wegen wenn es gerichtlich weden sollte.

Was hast Du Ihnen geantwortet?
Begründeten Widerspruch eingelegt ?

Du hast die Zeit hierfür schon verstreichen lassen, also biste dann dazu rechtmässig verpflichtet zu zahlen!

Wenn Du zeitlich nicht in der Lage warst eine Frist zu wahren, bedingt durch Tätigkeit im Ausland, oder Reisen, kannst du  eine Wiedereinsetzung der Frist verlangen, da Du sonst ja Nachteile hast, Musst aber nachweisen dass Du zu dieser Zeit nicht in der Lage warst den Empfang persönlich zu tätigen!

Es stellen sich aber folgende  Fragen:

Welche Form der Unterbringung in ein Heim wurde durch das Jugendamt durchgeführt?
Dafür muss DIR immer eine Rechtsgrundlage genannt worden sein, denn eine Unterbringung passiert nicht so ohne weiteres. Auch gibt es verschiedene Formen der Unterbringung und Betreuungen von Jugendlichen.  Sehr entscheidend was weitere Kosten betrifft und auch weitergeifende Maßnahmen, insbesondere dann wenn Dein Kind behindert sein sollte, bzw. auf Pflege oder Betreuung angewiesen ist.

Im Vorfeld der einer solchen Maßnahme werden und wurden auch wahrscheinlich andere familienorientierte Maßnahmen durchgeführt vom Amt her, dafür müssten Hilfepläne vorliegen.

Wurdest du informiert vom Amt her, dass irgendwas schief läuft mit deinen Sohn , nicht nur jetzt aktuell ?

Oder hast Du darauf bestanden jeglichen Kontakt zu deinen Sohn  abzulehnen und dies gegenüber dem Amt bekundet und schriftlich niederlegen lassen?

Wann hast das Jugendamt dich das letzte mal angeschrieben wegen der Übersendung von Unterlagen zwecks Unterhaltsberechnung ?

Denn Sie müssen ja irgendwoher ja eine Grundlage haben für das was sie fordern von Dir, denn aus dem Ärmel schüttelt sich so was ja gerade nicht wenn sie das doppelte fordern und auch übergeleitet haben auf eine andere Kasse ( öffentlich-rechtliche Forderung = Landeskasse)

Wurdest Du bereits in Verzug gesetzt von denen? Insbesondere wegen den Kosten der Maßnahme für Deinen Sohn?

Hast Du schon eine Aufforderung erhalten zwecks Zahlung, bzw. wurde eine Pfändung dir angedroht?

Hast Du schon Post vom Familiengericht erhalten?

Wenn Dein Sohn in einem Heim untergebracht worden ist entstehen Kosten für  beide Elternteile, dann werden auch beide Elternteile angeschrieben wegen der Geltendmachung der Kosten, dass heißt das Deine EX auch leisten muss, oder besser darf, wenn Sie es kann.

Möglichkeiten hierzu ( persönliche Empfehlung )

In dieser Situation  zu handeln, nach der langen Zeit ist verdammt schwer, schliesslich sind es neun Monate die faktisch „nutzlos“ verstrichen sind und sich Kosten angehäuft haben.

Such dir eine gute anwaltliche Vertretung, Fachanwalt Familienrecht! (www.Frag-einen-anwalt.de als Suchmaschine zu nützen), manches kannste per Telefon, oder auch schriftlich klären mit dem dann.

Du solltest JETZT wirklich aktiv und überlegt handeln, sowie zeitnah dazu wegen den Kosten die auflaufen!

Wenn Du Dir nen Anwalt suchst in Deutschland vereinbare zuerst eine Erstberatung und frage auch nach was sie verlangen hierfür!

Du wirst dich leider mit mehreren verschiedenen  Baustellen im Augenblick anfreunden dürfen und diese auch zeitnah bearbeiten dürfen:

Kosten der Heimunterbringung
Dein Kind hat die Maßnahme begonnen während der Zeit wo es noch nicht volljährig war!
Das heißt, dass diese Kosten wahrscheinlich gesondert  anfallen könnten, oder würden.
Die Kosten der Maßnahme entbinden dich auf keinen Fall, dass Du Deinen Sohn anteilig unterhaltspflichtig bist bis er eine entsprechende Ausbildung hat

Der Volljährige hat gegen seine Eltern prinzipiell den Anspruch, eine angemessene Ausbildung zu erhalten (§ 1610 Abs. 2 BGB). Mit Vollendung des 18. Lebensjahres erlischt das elterliche Sorgerecht, d.h. beide Eltern sind ab sofort barunterhaltspflichtig und zwar bis zum Ende eines ersten berufsqualifizierenden Abschluss.

Umlegen der Zahlungen an die öffentliche Kasse, damit diese zur Deckung verwendet werden für die entstandenen Kosten der Maßnahme.

Hier könnte es Probleme geben, du bist deinem Kind anteilig unterhaltspflichtig, es könnte Dich dann verklagen, da ein Titel existiert!
Mögliche Wege, Zahlung des Unterhaltes aussetzen und warten bis Klageschrift vom Sohn kommt wegen Geld. Dein Sohn muss dann klagen, da er volljährig ist, bzw. wenn ein Vormund da ist, dann muss der es tun im Namen Deines Sohnes
Risiko ist, dass Du unter Umständen auch mehr leisten musst an Unterhalt für Deinen Sohn, wenn Deine EX nicht zahlungsfähig sein sollte, außer Du bist nicht leistungsfähig, oder es wird ein Mangelfall bei Dir. Kommt auf Deinen Verdienst an, deine Lebensumstände und ob Du Familie hast mit Kindern in der Schweiz und auch Deine Vermögenswerte.( Da greift dann glaube ich das Schweizer Recht zum Teil.) Aber da musste auch den Anwalt fragen!

Zu beachten Zwangsvollstreckung gegen Dich  wegen Unterhaltspflichtverletzung §850d ZPO wird da wahrscheinlich greifen und zur Anwendung kommen. In wie weit diese anwendbar sind in der Schweiz kann ich Dir nicht sagen, dazu nen Anwalt heranziehen.

Zuviel gezahlter Unterhalt an deine EX
Schlechte Karten, dass Du was sehen wirst oder kannst von Ihr, daher Nachweise anfordern vom Amt an wenn diese die Kindesunterhaltszahlungen geleistet, bzw. weitergegeben haben.

Wenn Du vermögend bist, dann solltest es abwägen und abschätzbar sein was dir eine Auseinandersetzung wert ist und Kosten verursacht!

Aber wie oben angemerkt, hier solltest Du Dir nen Anwalt zur Seite stellen, denn es ist ziemlich verwoben ineinander

Wegen den Kosten für nen ungefähren Wert:
Rechne in etwa so:

Heimkosten+Kindesunterhalt